微积分

导数

$y=f(x),\triangle y=\triangle f$

$f'$为牛顿表述法,=$\frac{d f}{dx}$=$\frac{d y}{dx}$=$\frac{d}{dx}f$=$\frac{d}{dx}y$为莱布尼茨表达法 导数的重要性：应用访问涵盖了科学、工程、经济、政治、商业等活动

几何解释

$y=f(x)$的切点$p=(x_0,y_0)$

$y-y_0=m(x-x_0)$ 斜率为m

点p $y_0=f(x_0)$

斜率 $m=f'(x_0)$属于微积分问题

$f'(x_0)$定义$f$在$x_0$处的导数，也是$y=f(x)$在点P的斜率

切线其实是一种极限，是Q趋近于P时，切割PQ的极限（P点不变，Q点变化）

$\triangle x$为P点到Q点变化距离

$$m= \lim\limits_{\triangle x\to 0}\frac {\triangle f}{\triangle x}$$

$$Q=(x_0+\triangle x ,f(x_0+\triangle x))$$

差商：

$$f'(x_0)=\lim\limits_{\triangle x\to 0}\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}$$

Example 1 $f(x)=\frac{1}{x}$

$$\frac {\triangle f}{\triangle x}=\frac{\frac{1}{x_0+\triangle x}-\frac{1}{x_0}}{\triangle x}$$

$$=\frac{1}{\triangle x}(\frac{x_0-(x_0+\triangle x)}{(x_0+\triangle x)x_0})$$

$$=\frac{1}{\triangle x}(\frac{-\triangle x}{(x_0+\triangle x)x_0})$$

$$=\frac{-1}{(x_0+\triangle x)x_0}$$

$$f'(x) = \frac{-1}{x_0^2}=-x_0^{-2}$$

Example 1 $f(x)=x^n,n=1,2,3...$

x为固定，$\triangle x$为变化

$$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$$

$$\frac{\triangle f}{\triangle x} =\frac{(x+\triangle x)^n-x^n}{\triangle x}$$

$$(x+\triangle x)^n=x^n+nx^{n-1}\triangle x+junk$$

$junk=o((\triangle x)^2) $代表$\triangle x^2,\triangle x^3,\triangle x^4...$

$$=\frac{1}{\triangle x}(x^n+nx^{n-1}\triangle x+o((\triangle x)^2)-x^n)$$

$$=nx^{n-1}+o((\triangle x))$$

$\triangle x$趋近于0时

$$=nx^{n-1}$$

变化率

变化率： 平均变化率 瞬时变化率

Examples

q=电荷 $\frac{d q}{dt}$=电流

s=距离 $\frac{d s}{dt}$=速度

T=温度 $\frac{d T}{dx}$=温度梯度

测量灵敏度

极限

1 简单极限

$$\lim\limits_{ x\to 4}\frac {x+3}{x^2+1}$$

$$=\frac{4+3}{4^2+1} =\frac{7}{17}$$

2 导数情况

$$\lim\limits_{ x\to x_0}\frac {f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

不能简单代入x，考虑左右极限

$\lim\limits_{ x\to x_0^+}f(x)$ 表示求右极限 $x>x_0$

$\lim\limits_{ x\to x_0^-}f(x)$ 表示求左极限 $x<x_0$

Examples

$$f(x)=\begin{cases}x+1&x>0\\-x+2&x<0\end{cases}$$

$\lim\limits_{ x\to x_0^+}f(x) = \lim\limits_{ x\to 0^+}x+1 = 1$

$\lim\limits_{ x\to x_0^+}f(x) = \lim\limits_{ x\to 0^-}-x+2 = 2$

求极限不需要知道x=0的值

连续

定义连续 f在$x_0$点连续，定义为$x->x_0$时f(x)的极限等于$f(x_0)$

$\lim\limits_{ x\to x_0}f(x) =f(x_0)$ 该方法适应简单极限

1. 极限必须存在$\lim\limits_{ x\to x_0}f(x)$ 左右极限存在且相等
2. $f(x_0)$ 必须有定义
3. 二者相等

不连续函数

• 跳跃间断函数 左右极限均存在，但不相等
• 可取间断 左右极限存在且相等，
  • $g(x)=\frac{\sin x}{x}$ x趋近0时 g(x)=1无定义$\lim\limits_{ x\to 0}\frac{\sin x}{x} =1$
  • $h(x)=\frac{1-\cos x}{x}$ x趋近0时 h(x)=0无定义$\lim\limits_{ x\to 0}\frac{1-\cos x}{x} =0$
• 无穷间断
  • $\lim\limits_{ x\to 0^+}\frac{1}{x} =\infin$
  • $\lim\limits_{ x\to 0^-}\frac{1}{x} =-\infin$
  • $\lim\limits_{ x\to 0}-\frac{1}{x^2} =-\infin$
  • 无穷属于极限不存在
• 另类间断
  • $y=\sin\frac{1}{x}$

可导必连续： 如果f可导于x0或者在x0处存在导数，则f在x0处连续。

证明 $\lim\limits_{ x\to x_0}f(x)-f(x_0) =0$$\lim\limits_{ x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0) =f'(x_0)*0=0$

三角函数

求$\frac{d}{dx}\sin x$导数

$$\lim\limits_{ \triangle x \to 0}\frac {\sin(x+\triangle x)-\sin(x)}{\triangle x}$$

$$=\frac {\sin x\cos\triangle x+\cos x\sin\triangle x-\sin(x)}{\triangle x}$$

$$=\sin x\frac {\cos\triangle x-1}{\triangle x}+\cos x\frac{\sin(\triangle x)}{\triangle x}$$

$$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$$

求$\frac{d}{dx}\cos x$导数

$$\lim\limits_{ \triangle x \to 0}\frac {\cos(x+\triangle x)-\cos(x)}{\triangle x}$$

$$=\frac {\cos x\cos\triangle x-\sin x\sin\triangle x-\cos(x)}{\triangle x}$$

$$=\cos x\frac {\cos\triangle x-1}{\triangle x}-\sin x\frac{\sin(\triangle x)}{\triangle x}$$

$$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$$

可以用割圆术来证明(采用弧度制)

圆O的半径为1

取弧长AD 和 DB长为$\theta$ AC 和 BD垂线长为$\sin\theta$

当$\theta$趋近于0时 AO和BO向中间趋近于直线 $\sin\theta=\theta$

当x=0时$\lim\limits_{\triangle x \to 0}\frac{\sin(\triangle x)}{\triangle x}=1$

$\lim\limits_{\theta \to 0}\frac{2\sin\theta}{2\theta}=\frac{\sin\theta}{\theta}=1$

当 x=0时$\lim\limits_{\triangle x \to 0}\frac{\cos(\triangle x)-1}{\triangle x}=0$

$\frac{1-\cos\theta}{\theta}$中$1-\cos\theta$=点CD线段当$\theta \to 0$时$1-\cos\theta=0$，比$\theta$更快趋近0

证明sinx和cosx中x=0时导数$\frac{d}{dx}\sin x 和\frac{d}{dx}\cos x$可以推到其他值的导数

几何证明

$$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x (x=0)$$

$$y=\sin \theta$$

圆周运动的纵坐标 P点移动到Q点 圆周运动距离为$\triangle \theta$ 点P做线到R在垂直于RQ

$$PQ\approx \triangle \theta$$

$PQ \bot OP$ PR为直线

$$\angle QPR=\theta$$

$$\therefore\frac{\triangle y}{\triangle \theta}\approx \cos \theta$$

$$\lim \limits_{\triangle \theta \to 0}\frac{\triangle y}{\triangle \theta}= \cos \theta$$

求导法则

1. 对特定函数的求导，
2. 求导法则
   1. 加法$(u+v)'=u'+v'$
   2. 乘法$(cu)'=cu' 其中c是常数 或者 (uv)'=u'v+uv'$ 每次只改变一个函数
   3. 除法$(u/v)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ 当$v\not =0$时

乘法证明$(uv)'=\lim\limits_{\triangle x \to 0}\frac{\triangle(uv)}{\triangle x}$

$$\triangle(uv) =u(x+\triangle x)v(x+\triangle x)-u(x)v(x)$$

$$=(u(x+\triangle x)-u(x))v(x+\triangle x)+u(x)(v(x+\triangle x)-v(x))$$

$$=(\triangle u)v(x+\triangle x)+u(x)\triangle v$$

$$\lim\limits_{\triangle x \to 0}\frac{\triangle(uv)}{\triangle x}=\frac{\triangle u}{\triangle x}v(x+\triangle x)+u(x)\frac{\triangle v}{\triangle x}$$

$$=u'v+uv'$$

商证明$(\frac{u}{v})'=\lim\limits_{\triangle x \to 0}\frac{\frac{u(x+\triangle x)}{v(x+\triangle x)}-(\frac{u(x)}{v(x)})}{\triangle x}$

$$\triangle(\frac{u}{v})=\frac{u+\triangle u}{v+\triangle v}-\frac{u}{v}=\frac{uv+\triangle vu-uv-u\triangle v}{(v+\triangle v)v}$$

$v(\triangle x)=\triangle v$

$$=\frac{\triangle u v-u\triangle v}{(v+\triangle v)v}$$

$$\lim\limits_{\triangle x \to 0}\frac{\triangle (\frac{u}{v})}{\triangle x} = \frac{\frac{\triangle u}{\triangle x}v-u\frac{\triangle v}{\triangle x}}{(v+\triangle v)v}=\frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$

链式法则

复合函数的求导法则：$\frac{dy}{dx}=f'(u)*g'(x)$或$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}*\frac{du}{dx}$称为链式法则

复合函数的微分是一个乘积，两个函数的乘积

Example

1. $\frac{d}{dt}(\sin t)^{10}$

$$x=\sin(t) , y=x^{10}$$

$$\frac{dy}{dt} = 10x^{9}cos(t)=10\sin^9 tcos(t)$$

2. $\frac{d}{dt}\sin (10t)$

$$x=10(t) , y=\sin x$$

$$\frac{dy}{dt}=10cosx=10cos(10t)$$

高阶导数

$u=u(X), u',u''=(u')' ,u'''=((u')')',u^{(4)}=u''''=(u''')'$

$$u'=\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}u=Du ,D=\frac{d}{dx}$$

$$u''=\frac{d}{dx}\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}u=(\frac{d}{dx})^2u=\frac{d^2}{(dx)^2}u=\frac{d^2u}{dx^2}=D^2u$$

$$u'''=\frac{d^3u}{dx^3}=D^3u$$

Example

$$U=\sin x ,U'=\cos x ,(u')'=-\sin x,((u')')'=-\cos x,u^{(4)}=sinx$$

隐函数

使用代数方法使用链式法则

Examples

1. $y=x^{m/n} , y^n=x^m$

$$\frac{d}{dy}y^n=\frac{d}{dx}x^m$$

$$(\frac{d}{dy}y^n)\frac{dy}{dx}=mx^{m-1}$$

$$ny^{n-1}\frac{dy}{dx}=mx^{m-1}$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{mx^{m-1}}{ny^{n-1}}=\frac{mx^{m-1}}{n(x^{m/n})^{n-1}}$$

$$=\frac{m}{n}x^{(m-1)-(n-1)m/n}=\frac{m}{n}x^{m/n-1}=ax$$

2. $x^2+y^2=1$

$$y^2=1-x^2,y=\sqrt{1-x^2}=(1-x^2)^\frac{1}{2}$$

$$y'=\frac{1}{2}(1-x^2)^\frac{-1}{2}(-2x)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$$

隐函数微分法

$$\frac{d}{dx}(x^2+y^2=1)$$

$$2x+2yy'=0$$

$$y'=\frac{-2x}{2y}=\frac{-x}{y},y=\pm\sqrt{1-x^2}$$

3. $y^4+xy^2-2=0$

$$y^2=\frac{-x\pm\sqrt{x^2-4(-2)}}{2}$$

$$y=\pm\sqrt{\frac{-x\pm\sqrt{x^2+8}}{2}}$$

隐函数微分法

$$4y^3y'+y^2+x(2yy')=0$$

$$(4y^3+2xy)y'=-y^2$$

$$y'=\frac{-y^2}{4y^3+2xy}$$

逆函数

Example

$y=\sqrt{x},x>0,y^2=x$$f(x)=\sqrt{x},g(y)=x,g(y)=y^2$

逆函数表达方式$y=f(x),g(y)=x$$g(f(x))=x,g=f^{-1}$

$$f=g^{-1}$$

用隐函数微分法可以求导任意反函数，只要知道原函数导数

Example

1. $y=\tan^{-1}x$

$$\tan y=x$$

$$\lim\limits_{x \to \infty}\tan^{-1}x=\pi/2$$

$$\lim\limits_{x \to \pi/2}\tan x=\infty$$

$原函数求导(u/v)'$

$$\frac{d}{dy}\tan y=\frac{d}{dy}\frac{\sin y}{\cos y}=\frac{1}{\cos^2y}=\sec^2y$$

反函数求导

$$\frac{d}{dx}(\tan y=x)$$

$$(\frac{d}{dx}\tan y)\frac{dy}{dx}=1$$

$$(\frac{1}{\cos^2 y})\frac{dy}{dx}=1$$

$$y'=\cos^2 y$$

结果

$$\frac{d}{dx}tan^{-1}x=\cos^2(tan^{-1}x)$$

$\tan y=x$

$\cos y=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$\cos^2 y=\frac{1}{1+x^2}$

$$\frac{d}{dx}tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}$$

2. $y=\sin^{-1}x$

$\sin y=x$

$(\cos y)y'=1$

$y'=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$$\frac{d}{dx}\sin^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

在求导时需要注意函数定义范围

指数与对数函数

指数函数$y=a^x$

$a>0,a^0=1,a^1=a,a^2=a*a$

$$a^{x_1+x_2}=a^{x_1}a^{x_2}$$

$$(a^{x_1})^{x_2}=a^{x_1x_2}$$

$$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$$

指数

对任意x，定义$a^x$可以通过插值实现，直到连续

$$\frac{d}{dx}a^x=$$

$$\lim\limits_{\triangle x \to 0}\frac{a^{x+\triangle x}-a^x}{\triangle x}=\lim\limits_{\triangle x \to 0}a^x\frac{a^{\triangle x}-1}{\triangle x}$$

$$\frac{d}{dx}a^x=a^x\lim\limits_{\triangle x \to 0}\frac{a^{\triangle x}-1}{\triangle x}$$

$$设 M(a)=\lim\limits_{\triangle x \to 0}\frac{a^{\triangle x}-1}{\triangle x}$$

$$\frac{d}{dx}a^x=a^xM(a)$$

如果x=0时，斜率为M(a)

$$\frac{d}{dx}e^x=e^x$$

M(e) = 1

$f(x)=2^x,f'(0)=M(2)$ 增加k次幂,k为常数 $f(kx)=2^{kx}=(2^k)^x=b^x$

$b=2^k$

$$\frac{d}{dx}b^x=\frac{d}{dx}f(kx)=kf'(kx)$$

$$\frac{d}{dx}b^x|_{x=0}=kf'(0)=kM(2)$$

$$如果b=e,k=\frac{1}{M(2)}$$

求导指数函数有两种方法

1. 使用e做底，替换函数主体

$$\frac{d}{dx}a^x=\frac{d}{dx}(e^{\ln a})^x=\frac{d}{dx}e^{x\ln a}=(\ln a)e^{x\ln a}=(\ln a)a^x$$

所以$M(a)=\ln a$ 2. 对数微分法

$$(\ln u)'=u'/u$$

$$\frac{d}{dx}\ln u=\frac{d\ln u}{du}\frac{du}{dx}=\frac{1}{u}\frac{du}{dx}=u'/u$$

$u=a^x$

$\ln u=x\ln a$

$(\ln u)'=\ln a$

$$u'/u=(\ln u)'=ln a$$

$$u'=u\ln a$$

$$\frac{d}{dx}a^x=\ln a(a^x)$$

Example

$$v=x^x,\ln v=x\ln x$$

$(lnv)'=\ln x+x*\frac{1}{x}$

$v'/v=\ln x+1$

$v'=(\ln x+1)x^x$

$$\lim\limits_{n \to \infin}(1+\frac{1}{n})^n$$

$\triangle x=\frac{1}{n}\rightarrow 0$

$\ln ((1+\frac{1}{n})^n)=n\ln(1+\frac{1}{n})=\frac{1}{\triangle x}\ln(1+\triangle x)-\ln 1$

$\frac{d}{dx}\ln x|_{x=1}=1/x=1 $

$$\lim\limits_{n \to \infin}(1+\frac{1}{n})^n=e^{\lim\limits_{n\to \infin}ln[(1+\frac{1}{n})^n]}=e^1=e$$

$e=(1+\frac{1}{n})^n$

对数

$y=e^x ,\ln y=x , e^{\ln x} =x$$\ln(x_1x_2)=\ln x_1+\ln x_2$

同时对函数左右两边求导 $w=\ln x$

$e^w=x$

$$\frac{d}{dx}e^w=\frac{d}{dx}x=1$$

$$(\frac{d}{dw}e^w)\frac{dw}{dx}=1$$

$$(e^w)\frac{dw}{dx}=1,\frac{dw}{dx}=\frac{1}{e^w}=\frac{1}{x}$$

$$\frac{d}{dx}w=\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$$

求导方法（求导任意函数）

学习求导该

$$\frac{d}{d x}e^{x\arctan(x)} = ？$$