线性代数

一、方程组的几何解释

$$\begin{cases} 2x-y=0\\ -x+2y=3\\ \end{cases}\\ \begin{bmatrix} 2 & -1\\ -1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\3 \end{bmatrix}\\ Ax=b$$

$$x\begin{bmatrix} 2\\-1 \end{bmatrix}+ y\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\3 \end{bmatrix}\\$$

列向量的线性组合

1倍col1+2倍的col2

方程式

$$\begin{cases}2x-y=0\\-x+2y-z=-1\\-3y+4z=4\end{cases}\\ \begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}$$

这个行图像由三个平面构成，三个平面必然相交于一点，这就是解

几何解释

$$x\begin{bmatrix} 2\\-1\\0 \end{bmatrix}+ y\begin{bmatrix} 0\\2\\-3 \end{bmatrix}+z \begin{bmatrix} 0\\-1\\4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\-1\\4 \end{bmatrix}\\$$

左侧为三个向量的线性组合

对任意b，是否都有方程解？相当于问，列的线性组合是否能覆盖整个三维空间？

答：yes

这个矩阵是非奇异矩阵，是可逆矩阵

如果三个矩阵都存在同一平面时答案就是否定，这种情况称为奇异矩阵，非可逆矩阵

二、矩阵消元

矩阵乘以向量

三、乘法和逆矩阵

四、矩阵A的LU分解

五、转置、置换、空间向量

六、列空间和零空间

七、求解Ax=0：主变量，特解